Un problema típico en el álgebra de la escuela consiste en encontrar un número desconocido x dada la ecuación x2 + 2x = 120. Esta «ecuación cuadrática» tiene una solución positiva, x=10, aquí x2+ 2x= 102+ 2 ×10=100 + 20=120. También tiene una solución negativa, x= −12. En este caso x2+ 2x=(−12) 2+2x (−12)= 144−24= 120.
Los antiguos habrían aceptado la solución positiva, pero no la negativa.
Hoy admitimos ambas, porque en muchos problemas los números negativos tienen un significado razonable y corresponden a respuestas físicamente factibles, y porque realmente las matemáticas se hacen más sencillas si se admiten los números negativos.
El álgebra trata de las propiedades de expresiones simbólicas por sí mismas; trata de estructura y forma, no sólo de números.
Esta visión más general se desarrolló cuando los matemáticos empezaron a plantear preguntas generales sobre álgebra de nivel escolar. En lugar de tratar de resolver ecuaciones concretas, examinaron la estructura más profunda del propio proceso de solución.
El nombre «álgebra» apareció en medio de este proceso, y es de origen árabe. La inicial «al», el término árabe para «el», lo delata.
¿Cómo surgió el álgebra? Lo que vino primero fueron los problemas y los métodos. Sólo más adelante fue inventada la notación simbólica, que ahora consideramos como la esencia del tema.
Lo que ahora llamamos la «solución de ecuaciones», en la que hay que encontrar una incógnita a partir de información apropiada, es casi tan vieja como la aritmética. Hay evidencia indirecta de que los babilonios ya resolvían ecuaciones bastante complicadas en el 2000 a. C., y evidencia directa de soluciones de problemas más sencillos, en forma de tablillas cuneiformes, que se remonta hasta alrededor del 1700 a. C.
La porción que sobrevive de la Tablilla ybc 4652 del periodo babilónico antiguo (1800-1600 a. C.), contiene once problemas para resolver; el texto de la tablilla indica que originalmente había 22 problemas. Una pregunta típica es:
«Encontré una piedra, pero no la pesé. Después pesé 6 veces su peso, añadí 2 gin y añadí un tercio de un séptimo multiplicado por 24. Lo pesé. El resultado era 1 ma-na.
La tablilla presenta cierta respuesta pero no da una indicación clara de cómo se obtiene. Podemos estar seguros de que no había sido encontrada utilizando métodos simbólicos como los que ahora utilizamos, porque tablillas posteriores prescriben métodos de solución en términos de ejemplos típicos: «tomar la mitad de este número, sumar el producto de estos dos, tomar la raíz cuadrada….» y así sucesivamente.
Al-jabr
Al-Khwarizmi utilizaba el término al-jabr, que significa «sumar cantidades iguales a ambos miembros de una ecuación», que es lo que hacemos cuando partimos de
x−3= 5 y deducimos que x= 8.
En efecto, hacemos esta deducción sumando 3 a ambos miembros. Al-muqabala tiene dos significados. Hay un significado especial: «restar cantidades iguales de ambos miembros de una ecuación», que hacemos para pasar de
x+3= 5 a la respuesta x=2.
Pero también tiene un significado general: «comparación».
La palabra «álgebra» procede del árabe al-jabr, un término empleado por Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, que floreció alrededor del 820. Su obra Al-kitab al-jbr w’al- mugabala —Libro de compendio de cálculo por el método de completado y balanceado— explicaba métodos generales para resolver ecuaciones manipulando cantidades desconocidas.
Al-Khwarizmi da reglas generales para resolver seis tipos de ecuaciones, que pueden ser utilizadas para resolver todas las ecuaciones lineales y cuadráticas. En su obra encontramos así las ideas del álgebra elemental, pero no el uso de símbolos.
Símbolos algebraicos
Los matemáticos de la Italia del Renacimiento habían desarrollado muchos métodos algebraicos pero su notación era todavía rudimentaria.
Los matemáticos árabes del periodo medieval desarrollaron métodos sofisticados para resolver las ecuaciones, pero los expresaban en palabras, no en símbolos. El paso a la notación simbólica se aceleró en el periodo renacentista
Se necesitaron cientos de años para desarrollar el simbolismo algebraico actual.
El primero de los grandes algebristas en empezar a utilizar símbolos fue François Vieta, que enunció muchos de sus resultados en forma simbólica, pero su notación difería considerablemente de la moderna. No obstante, él utilizaba letras del alfabeto para representar cantidades conocidas tanto como incógnitas.
Lee este artículo completo en nuestra edición 139 de Algarabía, y cómo fue que el álgebra adquirió vida propia.
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